Números em vírgula (ponto) flutuante

Sabia que:

0.0000001 x 0.0000002 = 0.000000000000019999999999999997

??

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Se a matemática se considera uma ciência exacta, já o cálculo matemático em computadores por vezes tem as sua limitações.

Em números inteiros não há um problema aparente, nem nos decimais, mas quando estamos no campo dos números muito grandes ou muito pequenos, vêm acima as limitações do cálculo

Veja o exemplo, da soma de dois números decimais com "valor" na 7ª casa decimal:

number1 = 0.0000001

number2 = 0.0000002

O programa em Python para devolver a soma destes dois números seria:

sum = number1 + number2

print(sum)

E o resultado:

3e-07

É um resultado em número de vírgula flutuante, usando a notação científica. Assim mesmo percebemos que o resultado é 3 ... ou melhor 0.0000003 até aqui tudo bem. Agora se formatarmos o resultado da soma, a variável sum para que nos dê o resultado com a aproximação a 10 decimais, com o código:

print(" %6.10f " % sum)

O resultado é:

0.0000003000 

Que está correcto. O problema real começa a surgir quando ultrapassamos o limite de armazenamento que o computador tem para os números em vŕigula flutuante (e claro o resultado de operações entre eles). Estes números têm de ser convertidos do sistema decimal para o binário, e têm ainda a limitação intrínseca da capacidade de o computador armazenar:

O sinal do número

O expoente

A mantissa

Há limitações próprias das arquitecturas de 32 bits ou 64 bits, bem como das normas ou do tipo de máquina.

Assim se aumentarmos a representação do resultado da soma para 25 dígitos à direita da vírgula (ponto) obtemos agora:

0.0000002999999999999999864 

O que expõe as "fragilidades" ou limitações do cálculo por computador. Estes defeitos são uma moeda de troca para os milhões de cálculos por segundo que o computador pode realizar, usando o sistema binário e de vírgula flutuante.

Para reforçar a ideia, se multiplicarmos os dois números iniciais e a representação do resultado com dígitos o resultado da multiplicação é:

0.000000000000019999999999999997

Em outras situações como são por exemplo as representações de frações (infinitésimos) é um "problema" a ter em conta.

Obrigado.