Clotóides - Fórmulas Simplificadas

Clotóides - Fórmulas Simplificadas

Como primeira abordagem ao tema das fórmulas de clotóides, apresento as fórmulas simplificadas.

Estas fórmulas servem para um cálculo rápido, embora hoje em dia quase não se justifiquem, como dão uma aproximação é apenas suficiente para comprovar a solução exacta.

Como ponto de entrada tenho um desenho de ISPOL com uma directriz assente sobre um eixo horizontal, cujo ponto de arranque da clotóide é o 0,0:

A clotóide está a vermelho e a circular a amarelo.

Veja-se também o offset gerado pela introdução de uma clotóide ao comparar o eixo sem a clotóide:

A listagem da directriz é a seguinte:

As clotóides são caracterizadas pela seguinte expressão:

A² = R L

No caso exemplificado:

A = Parâmetro da Clotóide = 100

R = Raio da curva Circular = 200

L = Extensão da Clotóide = 50 (resulta da expressão da clotóide)

Agora com o auxílio do seguinte esquema podemos fazer alguns cálculos com as fórmulas dadas:

(Pequeno erro de proporção, L/2 nas duas cotagens terá a mesma dimensão)

 Sendo assim:

X ≈ L ≈50.000 metros

Y ≈ L²/(6R) ≈ (50²)/6x200 ≈ 2.083 metros

ΔR = L²/(24R) = 50²/(24x200) = 0.521 metros (valor aproximado em função do L)

Y = 4ΔR = 4 x 0.521 = 2.083 metros

β = 3 α =A²/(2R²) => β = 100²/(2x200²) = 0.125 radianos = 7.957747 grados

Este valor de grados é coerente com o obtido na listagem para o azimute do ponto final da clotóide: 100 - 7.957747 = 92.042253 grados (ver listagem)

Veja-se que das fórmulas acima obtidas o valor para X tem maior erro, obtive 50.000 em vez de 49.922, já o valor de Y está aproximado, obtive 2.083 em vez de 2.082 .

A conversão de radianos para grados foi feita com a minha app para Android:

https://play.google.com/store/apps/details?id=com.Coimbras.AngleConverter